Rumus Integral Tak Tentu Dan Contoh Soal Integral Tak Tentu
Seperti yang kita ketahui bahwa integral itu merupakan kebalikan atau lawan dari turunan (differensial). Jika pada Turunan, pangkatnya berkurang 1 maka pada Integral pangkatnya bertambah 1.
Dalam integral itu sendiri ada istilah "Integral Tak Tentu" dan ada juga istilah "Integral Tentu". Nah berhubung terlebih dahulu kita akan pelajari tentang "Integral Tak Tentu", maka dalam tutorial ini kita akan coba memahami beberapa konsep penting tentang "Integral Tak Tentu" yang kemudian kita lanjuti pada latihan soal.
Apa itu Integral Tak Tentu
Dalam bahasa inggris "Integral Tak Tentu" disebut dengan istilah "Indefinite Integral" merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi baru yang dihasilkan belum memiliki nilai pasti (berupa variabel). Hal ini berbeda dengan Integral Tentu yang memilki nilai batas atas dan batas bawah (batas-batas yang diberikan umumnya adalah suatu nilai konstanta).
Rumus Integral Tak Tentu secara matematis ditulis sebagai berikut :
∫
f(x)dx
Dari rumus di atas, kita dapat membacanya dengan “Integral Tak Tentu dari fungsi f(x) terhadap variabel x".
Rumus-Rumus Integral Tak Tentu
Sebelum kita memasuki latihan soal, terlebih dahulu mari kita pahami rumus-rumus integral tak tentu.
-
∫ axndx =a n+1xn+1 + c; n≠1
-
∫1 xdx = ln|x| + c
-
∫ k dx = kx + c
- ∫ ex dx = ex + c
-
∫ ax dx =ax ln adx = + c
- ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx
-
∫ f((x) + g(x))dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
- ∫ f((x) - g(x))dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
-
∫ (u(x))ru'(x)dx =1 r+1(u(x))r+1, c=konstanta, n≠1
- ∫ u dv = uv - ∫ v du
- ∫ sin x dx = -cos x + c
-
∫ cos x dx = sin x + c
- ∫ sin(ax + b) dx =-1 acos(ax + b) + c
- ∫ cos(ax + b) dx =1 asin(ax + b) + c
- ∫ tan x dx = ln |sec x| + c
- ∫ cot x dx = ln |sin x| + c
- ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + c
- ∫ csc x dx = ln |csc x - cot x| + c
- ∫ tan2 x dx = tan x - x + c
- ∫ cot2 x dx = cot x - x + c
- ∫ sin2 x dx =1 2(x - sin x . cos x) + c
- ∫ cos2 x dx =1 2(x + sin x . cos x) + c
- ∫ sec2 x dx = tan x + c
- ∫ csc2 x dx = -cot x + c
- ∫ sec x tan x dx = sec x + c
- ∫ csc x cot x dx = -csc x + c
- ∫ sinn x cos x dx =1 n+1sinn+1 x + c
- ∫ cosn x sin x dx =-1 n+1cosn+1 x + c
Latihan Soal Integral Tak Tentu
Soal No.1
Tentukan hasil dari :
∫
5 dx
Pembahasan
∫
k dx = kx + c
∫
5 dx = 5x + C
Soal No.2
Carilah integral dari :
∫
2x4 dx
Pembahasan
∫
axndx =
a
n+1
xn+1 + c; n≠1
∫
2x4 dx =
2
4+1
x4+1 x + c =
2
5
x5 x + c
Soal No.3
Carilah integral tak tentu dari :
∫
5x4 - 3x2 + 5 dx
Pembahasan
∫
5x4 - 3x2 + x + 5 dx
⇔
5x4
5
-
3x3
3
+ C ⇔ x4 - x3 + C
Soal No.4
Carilah integral dari :
∫
dx
3x4
Pembahasan
∫
dx
3x4
=
1
3
∫
x-4 dx
⇔
1
3
(
x-3
-3
) + c
⇔
x-3
-9
+ c
⇔ -
1
9x3
+ c
Soal No.5
Carilah integral dari :
∫
10x4 + 8x3 - 3x2 + 2x + 2 dx
Pembahasan
∫
10x4 + 8x3 - 3x2 + 2x + 2 dx
⇔
10x5
5
+
8x4
4
-
3x3
3
+
2x2
2
+ C ⇔ 2x5 + 2x4 - x3 + x2 + C
Soal No.6
Carilah integral dari :
∫
1
(2x - 1)3
dx
Pembahasan
∫
⇔
1
(2x - 1)3
dx
1
2(-3 + 1)
(2x - 1)-3+1 + C
⇔
1
-4
(2x - 1)-2 + C
⇔
1
-4
1
(2x - 1)2
+ C
⇔
1
-4(2x - 1)2
+ C
Soal No.7
Tentukan hasil integral dari :
∫
4x6 - 3x5 - 8
x7
dx
Pembahasan
∫
4x6 - 3x5 - 8
x7
dx
⇔
∫
4
x
-
3
x2
-
8
x7
⇔ 4 ln|x| - 3(-1)(x-1) - 8(-
1
6
)(x-6) + c
⇔ 4 ln|x| +
3
x
+
8
6x3
+ c
Soal No.8
Carilah hasil integral tak tentu berikut ini :
∫
x2 - 4x + 3
x2 - x
dx
Pembahasan
∫
x2 - 4x + 3
x2 - x
dx
⇔
∫
(x - 1)(x - 3)
x(x - 1)
dx
⇔
∫
(x - 1)(x - 3)
x(x - 1)
dx
⇔
∫
x - 3
x
dx
⇔
∫
1 -
3
x
dx
⇔
∫
1 dx -
∫
3
x
dx
⇔ x - 3 ln|x| + c
