Latihan Soal Permutasi Beserta Pembahasannya
Postingan Blog Materi Sekolah kali ini bertujuan untuk menyajikan Pembahasan Soal Permutasi.Permutasi adalah susunan (atau pemesanan) dari satu set objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa anda pengulangan (tidak boleh ada objek yang sama walaupun di posisi yang berbeda).
Permutasi digunakan ketika kita menghitung dengan memperhatikan urutan. Jika urutannya tidak masalah maka kita bisa menggunakan kombinasi.
Jumlah permutasi dari n objek yang diambil r pada suatu waktu, di mana 0 <r ≤ n, dilambangkan dengan P(n,r) dengan rumusnya sebagai berikut :
P(n,r) =
n!
(n-r)!
Contoh Permutasi
Plat nomor dimulai dengan tiga huruf. Jika huruf yang mungkin adalah A, B, C, D dan E, berapa banyak permutasi yang berbeda dari huruf-huruf ini dapat dibuat jika tidak ada huruf yang digunakan lebih dari sekali ?Cara-Cara Penyelesaiannya
1. Menggunakan logika umum (tanpa rumus)
Untuk huruf pertama, ada 5 pilihan yang memungkinkan. Setelah huruf tersebut dipilih, ada 4 pilihan yang memungkinkan. Akhirnya, tinggal 3 pilihan huruf yang memungkinkan.
Sehingga kita dapatkan :
5 × 4 × 3 = 60
2. Menggunakan Rumus Permutasi
Dari lima (5) huruf (A, B, C, D, E) yang diambil 3, maka banyaknya cara adalah :
P(n,r) =
n!
(n-r)!
P(5,3) =
5!
(5-3)!
P(5,3) =
5 x 4 x 3 x 2!
2!
= 60Latihan Soal Permutasi
1. Soal Permutasi Pertama
Dalam berapa banyak cara 4 resistor berbeda dapat diatur secara seri ?
Pembahasan
Karena ada 4 resitor, banyak cara dalam menyusunnya adalah :
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara
2. Soal Permutasi Kedua
Dalam suatu grup yang berisikan 4 orang akan memilih Ketua dan Sektretaris. Ada berapa alternatif susunan Ketua dan Sektretaris yang dapat dipilih ?
Pembahasan
P(n,r) =
P(6,2) =
P(11,4) =
n!
(n-r)!
P(6,2) =
4!
(4-2)!
P(11,4) =
4.3.2!
2!
= 12 cara3. Soal Permutasi Ketiga
Berapa banyak plat nomor yang berbeda untuk mobil yang dapat dibuat jika setiap plat nomor berisi empat angka 0 hingga 9 diikuti oleh huruf A hingga Z, dengan ketentuan (asumsi) bahwa :
(A) tidak ada pengulangan digit yang diizinkan.
(B) pengulangan angka diizinkan .
Pembahasan
A. Tidak ada pengulangan digit yang diizinkan
Ada 10 kemungkinan digit (0,1,2,…, 9) dan kita perlu mengambilnya 4 sekaligus. Ada 26 huruf dalam alfabet.
Tanpa pengulangan, kita memiliki:
P(10,4) =
10!
(10-4)!
P(10,4) =
10 x 9 x 8 x 7 x 6!
6!
= 131.040B. Pengulangan angka diizinkan
Dengan pengulangan, kita memiliki:
(jumlah digit 0000 hingga 9999) × Jumlah huruf alfabet
⇔ 10.000 x 26
⇔ 260.000
4. Soal Permutasi Keempat
Dalam berapa banyak cara seorang Presiden, Bendahara dan Sekretaris dipilih dari antara 7 kandidat ?
Pembahasan
7 kandidat akan dipilih 3 orang sebagai Presiden, Bendahara dan Sekretaris.
P(n,r) =
P(7,3) =
P(7,3) =
Jadi terdapat sebanyak 210 cara
P(n,r) =
n!
(n-r)!
P(7,3) =
7!
(7-3)!
P(7,3) =
7 x 6 x 5 x 4!
4!
= 210Jadi terdapat sebanyak 210 cara
5. Soal Permutasi Kelima
Jika suatu kode pos berisi 5 digit. Berapa banyak kode pos yang dapat dibuat dengan angka 0–9 jika tidak ada digit yang digunakan lebih dari sekali dan digit pertama bukan 0 ?
Pembahasan
Dari soal, 0 tidak diizinkan menempati digit pertama untuk kode pos.
Sehingga untuk posisi pertama, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 tidak diperbolehkan). Untuk 4 posisi berikutnya, kita memilih dari 9 digit.
9 x P(9,4) = 9 x
9 x P(7,3) = 9 x
Cara lain (pendekatan logika)
Untuk posisi pertama, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 tidak diperbolehkan). Setelah nomor itu dipilih, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 sekarang diperbolehkan). Kemudian, ada 8 pilihan yang mungkin, 7 pilihan yang mungkin dan 6 pilihan yang mungkin. Jadi
9 × 9 × 8 × 7 × 6 = 27.216
Sehingga untuk posisi pertama, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 tidak diperbolehkan). Untuk 4 posisi berikutnya, kita memilih dari 9 digit.
9 x P(9,4) = 9 x
9!
(9-4)!
9 x P(7,3) = 9 x
9 x 8 x 7 x 6 x 5!
5!
= 27216Cara lain (pendekatan logika)
Untuk posisi pertama, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 tidak diperbolehkan). Setelah nomor itu dipilih, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 sekarang diperbolehkan). Kemudian, ada 8 pilihan yang mungkin, 7 pilihan yang mungkin dan 6 pilihan yang mungkin. Jadi
9 × 9 × 8 × 7 × 6 = 27.216
6. Soal Permutasi Keenam
Dalam suatu kelas akan dibentuk panitia sebanyak 2 orang (ketua dan wakil ketua). Jika kandidat panitia ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Tentukan banyaknya cara yang terpilih sebagai panitia ?
Pembahasan
P(n,r) =
P(6,2) =
P(11,4) =
n!
(n-r)!
P(6,2) =
6!
(6-2)!
P(11,4) =
6 x 5 x 4!
4!
= 30 cara7. Soal Permutasi Ketujuh
Berapa banyak cara dapat mengatur 6 anak perempuan dan 2 anak laki-laki secara berturut-turut dengan asumsi sebagai berikut : (A) Tanpa batasan.
(B) Kedua anak laki-laki itu bersama.
(C) Kedua anak lelaki itu tidak bersama.
Pembahasan
(A) Tanpa batasan
Hanya 8 orang yang diatur secara berurutan: 8! = 40.320
(B) Kedua anak laki-laki bersama
Anggap 2 anak laki-laki sebagai satu "unit" dan ada 7 "unit" untuk diatur.
Sehingga kita dapatkan : 7! = 5040 cara.
Anak laki-laki dapat diatur dalam 2! = 2 cara, jadi banyaknya cara yang dapat diatur adalah :
7! × 2! = 10.080
(C) Kedua anak laki-laki tidak bersama
Banyaknya cara mengatur agar anak laki-laki tidak bersama adalah :
40.320 − 10.080 = 30.240
8. Soal Permutasi Kedelapan
Dalam sebuah tim olahraga terdapat 10 orang siswa yang dicalonka untuk menjadi pemain. Namun hanya 5 orang yang boleh menjadi pemain utama. Berapa banyak cara dalam menentukan pemain utama
Pembahasan
P(n,r) =
P(10,5) =
P(10,5) =
n!
(n-r)!
P(10,5) =
10!
(10-5)!
P(10,5) =
10 x 9 x 8 x 7 x 65!
5!
= 30.240 cara9. Soal Permutasi Kesembilan
Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu ?
Pembahasan
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
P(7,3) =
P(7,3) =
P(7,3) =
P(7,3) =
7!
(7 - 3)!
P(7,3) =
7!
4!
P(7,3) =
7 x 6 x 5 x4!
4!
= 210 cara10. Soal Permutasi Kesepuluh
Ada berapa banyak cara yang dapat diatur dari kata 'MATHEMATICS' dengan ketentuan huruf-huruf vokal harus selalu bersama ?
Pembahasan
Kata 'MATEMATIKA' memiliki 11 huruf. Kata-kata tersebut memiliki huruf vokal 'A', 'E', 'A', 'I' dan 4 vokal ini harus selalu bersama. Oleh karena itu ke-4 huruf vokal ini dapat dikelompokkan dan dianggap sebagai satu huruf sehingga menjadi : MTHMTCS (AEAI).
Oleh karena itu kita dapat menganggap total huruf sebagai 8. Tetapi dalam 8 huruf ini, 'M' terjadi 2 kali, 'T' terjadi 2 kali tetapi sisa hurufnya berbeda.
Oleh karena itu, banyaknya cara untuk mengatur huruf-huruf tersebut :
⇔
Dalam 4 huruf vokal (AEAI), 'A' muncul 2 kali dan sisanya dari vokal berbeda.
Banyaknya cara untuk mengatur huruf vokal itu sendiri adalah :
⇔
Sehingga banyaknya cara yang mungkin diatur :
⇔ 10080 × 12 = 120960
Oleh karena itu kita dapat menganggap total huruf sebagai 8. Tetapi dalam 8 huruf ini, 'M' terjadi 2 kali, 'T' terjadi 2 kali tetapi sisa hurufnya berbeda.
Oleh karena itu, banyaknya cara untuk mengatur huruf-huruf tersebut :
⇔
8!
(2!)(2!)
=
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2!
2!(2 x 1)
= 10080 Dalam 4 huruf vokal (AEAI), 'A' muncul 2 kali dan sisanya dari vokal berbeda.
Banyaknya cara untuk mengatur huruf vokal itu sendiri adalah :
⇔
4!
2!
=
4 x 3 x 2!
2!
= 12 Sehingga banyaknya cara yang mungkin diatur :
⇔ 10080 × 12 = 120960
11. Soal Permutasi Kesebelas
Ada berapa banyak kata yang dapat terbentuk dari kata "RUMAH" ?
Pembahasan
Kata 'RUMAH' memiliki 5 huruf dan semua 5 huruf ini berbeda.
Total jumlah kata yang dapat dibentuk dengan menggunakan semua 5 huruf tersebut adalah :
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata
Total jumlah kata yang dapat dibentuk dengan menggunakan semua 5 huruf tersebut adalah :
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata
12. Soal Permutasi Keduabelas
Ada berapa banyak kata yang dapat terbentuk dari kata "LEADER" ?
Pembahasan
Kata 'LEADER' memiliki 6 huruf.
Tetapi dalam 6 huruf ini, 'E' muncul 2 kali dan sisanya adalah huruf yang berbeda.
Oleh karena itu, banyaknya kata yang dapat dibentuk :
⇔
Tetapi dalam 6 huruf ini, 'E' muncul 2 kali dan sisanya adalah huruf yang berbeda.
Oleh karena itu, banyaknya kata yang dapat dibentuk :
⇔
6!
2!
=
6 x 5 x 4 x 3 x 2!
2!
= 360 buah kata
13. Soal Permutasi Ketigabelas
Ada berapa banyak kata yang dapat dibuat dari kata 'ENGINEERING'?
Pembahasan
Kata 'ENGINEERING' memiliki 11 huruf.
Tetapi dalam 11 huruf ini, 'E' muncul 3 kali, 'N' muncul 3 kali, 'G' muncul 2 kali, 'I' muncul 2 kali dan sisa hurufnya berbeda.
Oleh karena itu, banyaknya kata yang dapat dibentuk :
⇔
⇔
Tetapi dalam 11 huruf ini, 'E' muncul 3 kali, 'N' muncul 3 kali, 'G' muncul 2 kali, 'I' muncul 2 kali dan sisa hurufnya berbeda.
Oleh karena itu, banyaknya kata yang dapat dibentuk :
⇔
11!
(3!)(3!)(2!)(2!)
⇔
11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3!
3!(3 x 2 x 1)(2 x 1)(2 x 1)
= 277200 buah kata
