Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Beserta Pembahasannya
Sudah barang tentu anda diharapkan sudah memahami terlebih dahulu konsep seperti apa yang disebut dengan barisan dan deret. Dengan demikian akan memudahkan anda dalam memahami pembahasan soal tentang barisan dan deret aritmatika.
Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika
Soal No.1 (UN 2006)Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmatika. Jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan si sulung 23 tahun, maka jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang adalah ...
A. 95 tahun
B. 105 tahun
C. 110 tahun
D. 140 tahun
E. 145 tahun
Pembahasan
Jika usia si bungsu sekarang adalah : 15 tahun
Maka, usia si bungsu 10 tahun kemudian = 15 + 10 = 25
Jika usia si sulung sekaang adalah : 23 tahun
Maka, usia si sulung 10 tahun kemudian = 23 + 10 = 33
U1 = a = 25
U5 = 33
S5 =
S5 =
S5 = 145
Maka, usia si bungsu 10 tahun kemudian = 15 + 10 = 25
Jika usia si sulung sekaang adalah : 23 tahun
Maka, usia si sulung 10 tahun kemudian = 23 + 10 = 33
U1 = a = 25
U5 = 33
S5 =
5
2
= (a + U5)S5 =
5
2
= (25 + 33>)S5 = 145
Soal No.2
Jika terdapat sebuah barisan aritmatika yang memiliki jumlah suku ganjil dan suku pertamanyanya adalah 4 serta suku terakhirnya adalah 20. Berapakah suku tengahnya.....? A. 12
B. 8
C. 10
D. 16
E. 13
Penyelesaian
a = 4
Un = 20
Ut =
Ut =
Jawab : A
Un = 20
Ut =
a + Un
2
Ut =
20 + 4
2
= 12Jawab : A
Soal No.3 (UN 2017)
Seorang kakek membagikan permen kepada 6 orang cucunya, menurut aturan deret aritmatika. Semakin muda usia cucu semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diperoleh cucu kedua sebanyak 9 buah dan cucu kelima sebanyak 21 buah, jumlah seluruh permen adalah ... A. 80 buah
B. 90 buah
C. 100 buah
D. 110 buah
E. 120 buah
Penyelesaian
n = 6
U2 = a + b = 9 ........................(1)
U5 = a + 4b = 21 ........................(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 5 dan b = 4
Dengan demikian, jumlah seluruh permen :
S6 =
S6 = 3(10 + 20)
S6 = 90
Jawab : B
U2 = a + b = 9 ........................(1)
U5 = a + 4b = 21 ........................(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
a = 5 dan b = 4
Dengan demikian, jumlah seluruh permen :
S6 =
6
2
(2.5 + (6-1).4) S6 = 3(10 + 20)
S6 = 90
Jawab : B
Soal No.4
Banyaknya bilangan di antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah ...
A. 300
B. 280
C. 350
D. 180
E. 3000
Penyelesaian
Bilangan antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah : 102,105,108,….,999
Berarti : a = 102 , b = 3 dan Un =999
Un = a + ( n-1 ) b
999 = 102 + (n-1) 3
(n-1) = (999-102)/3
(n-1) = 897/3
(n-1)=299
n = 299+1
n = 300
Jadi Banyaknya bilangan di antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah 300
Jawab : A
Berarti : a = 102 , b = 3 dan Un =999
Un = a + ( n-1 ) b
999 = 102 + (n-1) 3
(n-1) = (999-102)/3
(n-1) = 897/3
(n-1)=299
n = 299+1
n = 300
Jadi Banyaknya bilangan di antara 101 dan 1000 yang habis dibagi 3 adalah 300
Jawab : A
Soal No.5
Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah :
A. 19
B. 14
C. 24
D. 11
E. 17
Penyelesaian
Diketahui penjumlahan suku ke-2 dan ke-4 adalah 12:
U2 +U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6 ....(Persamaan 1)
Diketahui penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 adalah 16 :
U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8 ....(Persamaan 2)
Tahapan berikutnya, lakukan substitusi Persamaa 1 ke Persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b.... substitusi ke persamaan (2)
Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2) ⇒ U7 = 14
Jawab : B
U2 +U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6 ....(Persamaan 1)
Diketahui penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 adalah 16 :
U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8 ....(Persamaan 2)
Tahapan berikutnya, lakukan substitusi Persamaa 1 ke Persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b.... substitusi ke persamaan (2)
Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2) ⇒ U7 = 14
Jawab : B
Soal No.6 (UN 2014)
Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah...
A. 1.200 kursi
B. 800 kursi
C. 720 kursi
D. 600 kursi
E. 300 kursi
Penyelesaian
Jika kita pahami, bahwa ke-15 baris kursi tersebut akan membentuk sebagai suku-suku barisan aritmatika, dengan jumlah kursi baris terdepan sebagai suku pertama dan selisih jumlah kursi tiap baris yang berdekatan sebagai beda barisan.
Dengan demikian, kita dapatkan :
n = 15
a = 20
b = 4
Kapasitas gedung adalah jumlah kursi pada ke-15 baris tersebut, yaitu :
Sn =
S15 =
S15 =
S15 = 720
Jawab : A
Dengan demikian, kita dapatkan :
n = 15
a = 20
b = 4
Kapasitas gedung adalah jumlah kursi pada ke-15 baris tersebut, yaitu :
Sn =
n
2
(2a + (n-1)b) S15 =
15
2
(2.20 + (15 - 1)4) S15 =
15
2
(40 + 56) S15 = 720
Jawab : A
Soal No.7 (UN 2013)
Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 2 dan -13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ...
A. -580
B. -490
C. -440
D. -410
E. -380
Penyelesaian
Diketahui suku-suku barisan aritmatika :
U3 = a + 2b = 2 ........................(1)
U8 = a + 7b = -13 .........................(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
a = 8 dan b = -3
Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah :
Sn =
S20 =
S20 = 10(16 - 57)
S20 = -410
Jawab : D
U3 = a + 2b = 2 ........................(1)
U8 = a + 7b = -13 .........................(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
a = 8 dan b = -3
Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah :
Sn =
n
2
(2a + (n-1)b) S20 =
20
2
(2.8 + (20 - 1)(-3)) S20 = 10(16 - 57)
S20 = -410
Jawab : D
Soal No. 8 (UN 2012)
Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10 tahun dengan gaji awal Rp1.600.000,00. Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp200.000,00. Total seluruh gaji yang diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah ...
A. Rp25.800.000,00
B. Rp25.200.000,00
C. Rp25.000.000,00
D. Rp18.800.000,00
E. Rp18.000.000,00
Penyelesaian
Kontrak kerja Harminingsih selama 10 tahun dengan kenaikan gaji berkala sebesar Rp200.000,00 setiap tahunnnya dari gaji awal Rp1.600.000,00, dapat kita pandang sebagai deret aritmatika, dimana kita dapatkan informasi :
n = 10 tahun
a = 1600 (dalam ribuan rupiah)
b = 200 (dalam ribuan rupiah)
Total seluruh gaji yang diterima Harminingsih selama 10 tahun adalah :
Sn =
S10 =
S10 = 5(3200 + 1800)
S10 = 25.000 (dalam ribuan rupiah)
Jawab : C
n = 10 tahun
a = 1600 (dalam ribuan rupiah)
b = 200 (dalam ribuan rupiah)
Total seluruh gaji yang diterima Harminingsih selama 10 tahun adalah :
Sn =
n
2
(2a + (n-1)b) S10 =
10
2
(2.1600 + (10-1)200) S10 = 5(3200 + 1800)
S10 = 25.000 (dalam ribuan rupiah)
Jawab : C
Soal No.9
Jika suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya adalah 240, maka jumlah 7 suku pertamanya adalah ...
A. 14
B. 10
C. 7
D. 1
E. -7
Penyelesaian
b = 2
Karena beda diketahui, maka suku pertama dapat dicari menggunakan rumus jumlah 20 suku pertama. Jumlah 20 suku pertama :
S20 =
S20 = 10(a + U20)
S20 = 10 (a + a + 19b)
S20 = 10 (2a + 19.2)
S20 = 10 (2a + 38)
240 = 20a + 380
20a = -140
a = -7
Jumlah 7 suku pertama
S7 =
S7 =
S7 =
S7 =
S7 =
S7 =
S7 = -7
Jawab : E
Karena beda diketahui, maka suku pertama dapat dicari menggunakan rumus jumlah 20 suku pertama. Jumlah 20 suku pertama :
S20 =
20
2
(a + U20) S20 = 10(a + U20)
S20 = 10 (a + a + 19b)
S20 = 10 (2a + 19.2)
S20 = 10 (2a + 38)
240 = 20a + 380
20a = -140
a = -7
Jumlah 7 suku pertama
S7 =
7
2
(a + U7) S7 =
7
2
(a + a + 6b ) S7 =
7
2
(2a + 6b ) S7 =
7
2
(2(-7) + 6.2) S7 =
7
2
(-14 + 12) S7 =
7
2
(-2) S7 = -7
Jawab : E
Soal No.10
Suku ke-n suatu deret ritmetika adalah Un = 3n - 5. Rumus jumlah n suku yang pertama adalah ...
A. Sn =
n
2
(3n - 7) B. Sn =
n
2
(3n - 5) C. Sn =
n
2
(3n - 4) D. Sn =
n
2
(3n - 3) E. Sn =
n
2
(3n - 2) Penyelesaian
Dari rumus Un yang diketahui di soal, maka kita bisa melihat nilai suku pertamanya.
Un = 3n - 5
U1 = 3(1) - 5
U1 = -2
a = -2
Rumus jumlah n suku pertama secara umum adalah :
Sn =
Sn =
Sn =
Sn =
Jawab : A
Un = 3n - 5
U1 = 3(1) - 5
U1 = -2
a = -2
Rumus jumlah n suku pertama secara umum adalah :
Sn =
n
2
(a + Un) Sn =
n
2
(a + 3n - 5) Sn =
n
2
(-2 + 3n - 5) Sn =
n
2
(3n - 7) Jawab : A
Soal No.11
Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku kedua adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah ...
A. 440
B. 460
C. 590
D. 610
E. 640
Penyelesaian
Suku kedua :
U2 = 5
a + b = 5
a = 5 - b
Suku kelima :
U5 = 14
a + 4b = 14
5 - b + 4b = 14
3b = 9
b = 3, maka a = 5 - 3 = 2
Jumlah 20 suku pertama :
Sn =
S20 =
S20 = 10(a + U20)
S20 = 10(a + a + 19b)
S20 = 10(2 + 2 + 19 . 3)
S20 = 10(61)
S20 = 610
Jawab : D
U2 = 5
a + b = 5
a = 5 - b
Suku kelima :
U5 = 14
a + 4b = 14
5 - b + 4b = 14
3b = 9
b = 3, maka a = 5 - 3 = 2
Jumlah 20 suku pertama :
Sn =
n
2
(a + Un) S20 =
20
2
(a + U20) S20 = 10(a + U20)
S20 = 10(a + a + 19b)
S20 = 10(2 + 2 + 19 . 3)
S20 = 10(61)
S20 = 610
Jawab : D
Soal No.12
Banyak kursi pada barisan pertama di gedung bioskop adalah 20. Banyak kursi pada baris di belakangnya 4 buah lebih banyak dari kursi pada garis di depannya. Banyak kursi pada baris ke-15 adalah ....
A. 76 buah
B. 78 buah
C. 28 buah
D. 80 buah
E. 98 buah
Penyelesaian
U1 = 20
U2 = 24
Un = a + ( n-1 ) b
Diketahui : a = 20, b =4
Un = a + ( n-1 ) b
U15 = 20 + (15-1) x 4
U15 = 20 + 56
U15 = 76
Jawab : A
U2 = 24
Un = a + ( n-1 ) b
Diketahui : a = 20, b =4
Un = a + ( n-1 ) b
U15 = 20 + (15-1) x 4
U15 = 20 + 56
U15 = 76
Jawab : A
Soal No.13 (UN 2012)
Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah keuntungan sampai bulan ke-12 adalah ....
A. Rp1.740.000,00
B. Rp1.750.000,00
C. Rp1.840.000,00
D. Rp1.950.000,00
E. Rp2.000.000,00
Pembahasan
a = 46 (dalam ribuan rupiah)
b = 18 (dalam ribuan rupiah)
Jumlah keuntungan sampai bulan ke-12 adalah Sn =
S12 =
S12 = 6(92 + 198)
S12 = 1740 (dalam ribuan rupiah)
b = 18 (dalam ribuan rupiah)
Jumlah keuntungan sampai bulan ke-12 adalah Sn =
n
2
(2a + (n-1)b) S12 =
12
2
(2.46 + (12 - 1)18) S12 = 6(92 + 198)
S12 = 1740 (dalam ribuan rupiah)
