Contoh Soal Persamaan Logaritma Terlengkap

Tujuan dari materi matematika kali ini adalah menyelesaikan latihan soal persamaan logaritma dan mengetahui sifat-sifat atau model bentuk persamaan logaritma.

Pada tutorial sebelumnya kita telah mempelajari bentuk umum logaritma, sifat-sifat logaritma beserta latihan soal.

Sebelum kita memasuki latihan soal, terlebih dahulu kita perlu mengenali berbagai bentuk persamaan logaritma dan bagaimana menyelesaikannya.

Sifat-Sifat Persamaan Logaritma

1. Persamaan logaritma berbentuk ^alog f(x) = ^alog p

---

Jika terdapat persamaan ^alog f(x) = ^alog p, dimana a>0, a≠1, dan f(x), p>0 kita dapat menggunakan sifat berikut :

^alog f(x) = ^alog p ⇔ f(x) = p, asalkan f(x) > 0

2. Persamaan logaritma berbentuk ^alog f(x) = ^blog f(x)

---

Jika terdapat persamaan^alog f(x) = ^blog f(x), dimana a≠b, kita dapat menggunakan sifat berikut :

^alog f(x) = ^blog f(x) ⇔ f(x) = 1

3. Persamaan logaritma berbentuk ^alog f(x) = ^blog g(x)

---

Jika terdapat persamaan^alog f(x) = ^blog g(x), dimana a>0, a≠b dan f(x), g(x)>0, kita dapat menggunakan sifat berikut :

^alog f(x) = ^blog g(x) ⇔ f(x) = g(x)
asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif

4. Persamaan logaritma berbentuk ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x)

---

Jika terdapat persamaan ^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x), h(x)>0, h(x) ≠1 dan f(x) g(x) > 0, kita dapat menggunakan sifat berikut ini :

^h(x)log f(x) = ^h(x)log g(x) ⇔ f(x) = g(x)

5. Persamaan logaritma dalam bentuk persamaan kuadarat

---

Jika terdapat persamaan :

A[^alog f(x)]² + B[^alog f(x)] + C = 0

maka bentuk itu diubah kedalam persamaan kuadrat asalkan f(x) > 0

Contoh Soal Persamaan Logaritma

Soal No.1

---

Carilah himpunan penyelesaian dari ²log(x² + 4x) = 5

Pembahasan

²log(x² + 4x) = 5
²log(x² + 4x) = ²log 2^5
2log(x² + 4x) = ²log 32

maka :
x² + 4x = 32
x² + 4x - 32 = 0
(x - 4)(x + 8) =
x = 4 dan x = -8

Himpunan penyelesaiannya adalah {-8, 4}

Soal No.2

---

Carilah himpunan penyelesaian dari ⁵log(2x² + 5x - 10) = ⁵log(x² - 2x + 18)

Pembahasan

⁵log(2x² + 5x - 10) = ⁵log(x² - 2x + 18)
2x² + 5x - 10 = x² - 2x + 18
2x² - x² + 5x - 2x - 10 - 18 = 0
x² + 3x - 28 = 0
(x - 4)(x + 7) = 0
x=4 dan x=-7

Himpunan penyelesaiannya adalah {4,-7}

Soal No.3

---

Carilah himpunan penyelesaian dari ⁴log(3x - 1) = ⁵log(2x + 2)

Pembahasan

⁴log(3x - 1) = ⁵log(2x + 2)
3x - 1 = 2x + 2
3x - 2x - 1 - 2 = 0
x - 3 = 0
x = 3

Himpunan penyelesaiannya adalah {3}

Soal No.4

---

Carilah himpunan penyelesaian dari ^(x2-1)log(2x² - 2x + 20) = ^(x2-1)log(x² + 6x + 5)

Pembahasan

^(x2-1)log(2x² - 2x + 20) = ^(x2-1)log(x² + 6x + 5)
2x² - 2x + 20 = x² + 6x + 5
2x² - x² - 2x - 6x + 20 - 5 = 0
x² - 8x + 15 = 0
(x - 3)(x - 5) = 0
x = 3 dan x = 5

Himpunan penyelesaiannya adalah {3,5}

Soal No.5

---

Tentukan nilai x dari persamaan logaritma ³log²x - 7.³log x + 12 = 0

Pembahasan

Misalkan : p = ³log x

Maka :
p² - 7p + 12 =
(p - 4)(p - 3) = p = 4 dan p = 3

Substitusi nilai p = ³log x, sehingga diperoleh nilai x:
³log x = p (masukkan nilai p = 4)
³log x = 4 ⇒ x = 3⁴ = 81

³log x = p (masukkan nilai p = 3)
³log x = 3 ⇒ x = 3³ = 27

Jadi nilai x nya adalah {81, 27}