Skip to main content

Rumus Turunan Trigonometri dan Contoh Soal

Pembelajaran matematika kali ini bertujuan agar kita mengetahui rumus turunan trigonometri, baik itu rumus dasar turunan trigonometri maupun pengembang rumus turunan trigonometri.

Jika pada tutorial sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi aljabar, maka materi turunan sekarang dilanjutkan dengan turunan trigonometri.

Lalu kira-kira apa itu turunan trigonometri ?
Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.

Sebelum kita memasuki latihan soal turunan trigonometri, terlebih dahulu kit akan memahami terlebih dahulu rumus dasar turunan trigonometri.

Rumus - Rumus Turunan Fungsi Trigonometri


Disini kita akan mengenali rumus dasar trigonometri kemudian beberapa pengembangan rumus dari fungsi trigonometri.

1. Rumus Dasar Turunan Trigonometri

Untuk differensiasi (turunan) fungsi trigonometri, rumus ini merupakan bagian fundamental dalam menyelesaikan soal-soal yang mengandung fungsi trigonometri.
1.  f(x) = sin x  →  f '(x) = cos x
2.  f(x) = cos x  →  f '(x) = −sin x
3.  f(x) = tan x  →  f '(x) = sec2 x
4.  f(x) = cot x  →  f '(x) = −csc2x
5.  f(x) = sec x  →  f '(x) = sec x . tan x
6.  f(x) = csc x  →  f '(x) = −csc x . cot x

2. Pengembangan Rumus Turunan Trigonometri

1. f(x) = sin u → f '(x) = cos u . u'
2. f(x) = cos u → f '(x) = −sin u . u'
3. f(x) = tan u → f '(x) = sec2u . u'
4. f(x) = cot u → f '(x) = −csc2 u . u'
5. f(x) = sec u → f '(x) = sec u tan u . u'
6. f(x) = csc u → f '(x) = −csc u cot u . u'

3. Pengembangan Rumus Turunan Trigonometri

Dalam kasus-kasus tertentu terkadang kita memiliki sudut yang lebih kompleks pada suatu fungsi trigonometri. Misalkan variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0, maka berlaku aturan turunan sebagai berikut :
1. f(x) = sin (ax + b) → f '(x) = a cos (ax + b)
2. f(x) = cos (ax + b) → f '(x) = -a sin (ax + b)
3. f(x) = tan (ax + b) → f '(x) = a sec2 (ax +b)
4. f(x) = cot (ax + b) → f '(x) = -a csc2 (ax+b)
5. f(x) = sec (ax + b) → f '(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
6. f(x) = csc (ax + b) → f '(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b)


Contoh Soal Turunan Trigonometri


Soal No.1
Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = 5 sin x
b. f(x) = -7 sin x
c. f(x) = 5 cos x
d. f(x) = -3 cos x
e. f(x) = 4 cot x
f. f(x) = 9 tan x
g. f(x) = -2 sec x
h. f(x) = 5 csc x

Pembahasan
a. f(x) = 5 sin x → f'(x) = 5 cos x
b. f(x) = -7 sin x → f'(x) = -7 cos x
c. f(x) = 5 cos x → f'(x) = 5 (-sin x) → f'(x) = -5 sin x
d. f(x) = -3 cos x → f'(x) = -3 (-sin x) → f'(x) = 3 sin x
e. f(x) = 4 cot x → f'(x) = 4 (−csc2 x) = -4 csc2 x
f. f(x) = 9 tan x → f'(x) = 9 sec2 x
g. f(x) = -2 sec x → f'(x) = -2 sec x . tan x
h. f(x) = 5 csc x → f'(x) = 5 (−csc x . cot x) = -5 csc x . cot x


Soal No.2
Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. y = sin(3x2 + 2x − 5)
b. y = cot(x2 − x + 7)
c. y = sec(5x3 + 9)

Pembahasan
a. y = sin(3x2 + 2x − 5)
Misalkan : u = 3x2 + 2x − 5 → u' = 6x + 2
y = sin u
y' = cos u . u'
y' = cos(3x2 + 2x − 5) . 6x + 2
y' = (6x + 2)cos(3x2 + 2x − 5)

b. y = cot(x2 − x + 7)
Misalkan : u = x2 − x + 7 → u' = 2x - 1
y = cot u
y' = −csc2 u . u'
y' = − cot(x2 − x + 7) . (2x - 1)
y' = −(2x - 1) cot(x2 − x + 7)

c. y = sec(5x3 + 9)
Misalkan : u = 5x3 + 9 → u' = 15x2
y = sec u
y' = sec u . tan u . u'
y' = sec(5x3 + 9) . tan(5x3 + 9) . 15x2
y' = 15x2 sec(5x3 + 9) tan(5x3 + 9)


Soal No.3
Diketahui f(x) = sin³ (3 - 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f' maka f'(x) = .....?

Pembahasan
f(x) = sin³ (3 - 2x)
Misalkan: u = sin (3 - 2x) → u' = cos (3 - 2x) . (-2) → u' = -2cos (3 - 2x)

f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(3 - 2x) . -2cos (3 - 2x)
⇔ -6 sin²(3 - 2x) . cos (3 - 2x)
⇔ -3 . 2 sin (3 -2x).sin (3 -2x).cos (3 - 2x)
⇔ -3 . sin (3 - 2x). 2 sin (3 - 2x).cos (3 - 2x)

(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
⇔ -3 sin (3 - 2x) sin 2(3 - 2x)
⇔ -3 sin (3 - 2x) sin (6 - 4x)


Soal No.4
Carilah turunan pertama dari y = x² sin 3x ?

Pembahasan
y = x² sin 3x

Misalkan:
u = x² → u' = 2x
v = sin 3x → v' = 3 cos 3x
y = u . v y' = u' . v + u . v'
y' = 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x
y' = 2x sin 3x + 3x² cos 3x


Soal No.5
Carilah turunan dari y =
1 + cos x / sin x


Pembahasan
Misal :
u = 1 + cos x ⇒ u' = -sin x
v = sin x ⇒ v' = cos x

Maka :
y' =
u' . v + u . v' / v2

y' =
-sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos x) / sin2 x

y' =
-sin2 x − cos2 x − cos x / sin2 x

y' =
-(sin2 x + cos2 x) − cos x / sin2 x

y' =
-(1) - cos x / 1 - cos2 x

y' =
-(1 + cos x) / (1 − cos x).(1 + cos x)

y' =
-1 / 1 − cos x

y' =
1 / cos x - 1



Soal No.6
Diketahui f(x) = x2 tan 2x. Tentukan f'(x) ?

Pembahasan
Gunakan rumus: f(x) = u.v → f'(x) = u'v + uv'
Misal :
u = x2 → u' = 2x
v = tan 2x → v' = 2 sec2 2x

f'(x) = u'v + uv'
f'(x) = 2x tan 2x + x2 . 2 sec2 2x
f'(x) = 2x tan 2x + 2x2 sec2 2x


Soal No.7
Diketahui f(x) = 5 sin (x2 + 2x). Tentukan f'(x) ?

Pembahasan
Gunakan rumus : f(x) = a sin u → f '(x) = a(cos u). u'

Misalkan :
u = x2 + 2x → u' = 2x + 2
f'(x) = a(cos u). u'
f'(x) = 5[cos (x2 + 2x)].(2x + 2)
f'(x) = 10(x+1)cos(x2 + 2x)


Soal No.8
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut : y = (sin x + cos x)2

Pembahasan
Misalkan :
g(x) = sin x + cos x ⇒ g'(x) = cos x - sin x

y = (sin x + cos x)2
y' = n [g(x)]n-1. g '(x)
y' = 2 (sin x + cos x)2-1.(cos x − sin x)
y' = 2 (sin x + cos x).(cos x − sin x)
y' = 2 (cos x + sin x).(cos x − sin x)
y' = 2 (cos2 x − sin2 x)
y' = 2 (cos2 x − (1 − cos2 x))
y' = 2 (2cos2 x − 1)
y' = 4cos2 x − 2.



Soal No.9
Diketahui f(x) = cot x - 2 sec x + a csc x. Tentukan turunan f'(x) ?

Pembahasan
Gunakan rumus :
f(x) = cot x → f '(x) = −csc2x
f(x) = sec x → f '(x) = sec x . tan x
f(x) = csc x → f '(x) = −csc x . cot x


f(x) = cot x - 2 sec x + a csc x
f'(x) = −csc2x - 2 sec x tan x - a csc x cot x
Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar