Barisan dan Deret Aritmatika (Rumus dan Contoh Soal)

Tujuan dari pembelajaran matematika kali ini adalah agar kita dapat mengetahui rumus barisan dan deret aritmatika. Pada bagian akhir dari materi ini terdapat beberapa contoh soal tentang penerapan rumus mencari bilangan suku ke-n ataupun mencari jumlah dari suatu deret.

Materi barisan dan deret aritmatika merupakan salah satu topik yang akan sering kita jumpai pada soal-soal ujian. Bahkan pada tes-tes masuk kerja yang terdapat tes logika, soal-soal barisan dan deret aritmatika kerapkali kita jumpai.

Dari judul di atas terdapat dua penekanan penting terhadap kata "Aritmatika" yaitu kata-kata:

• Barisan
• Deret

Tahukan anda apa perbedaan "Barisan" dan "Deret" ?.

Nah agar anda dapat memahami lebih baik tentang apa itu barisan dan deret beserta rumus-rumusnya, mari kita simak penjelasan lebih lanjut di bawah ini.

A. Barisan Aritmatika

1. Definisi Barisan Aritmatika

---

Barisan Aritmatika adalah suatu barisan bilangan  (urutan bilangan) yang memiliki nilai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan.

Dari pengertian barisan aritmatika mungkin anda sedikit bingung dalam memahaminya. Nah agar lebih paham, coba perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh
3, 6, 9, 12, 15 ... .adalah barisan aritmatika dengan selisih atau nilai beda 3.

Barisan bilangan di atas terdiri dari lima suku. Suku pertama pada barisan bilangan di atas disimbolkan dengan dengan U₁ dan suku terakhirnya yaitu suku ke-5 diwakili oleh simbol U_5. Sedangkan selisih dari dua suku yang berurutan atau nilai beda disimbolkan dengan "b". Dengan demikian urutan-urutan bilangan di atas jika ditulis dalam bentuk suku-sukunya adalah sebagai berikut:

• U₁ = 3
• U₂ = 6
• U₃ = 9
• U₄ = 12
• U₅ = 15

2. Pengertian Nilai Beda

---

Berbicara tentang suatu barisan dan deret aritmatika, selalu nilai beda menjadi dasar untuk menyatakan apakah barisan dan deret  tersebut termasuk barisan aritmatika atau tidak.

Nilai beda itu sendiri adalah selisih yang tetap antara dua suku yang berurutan yang disimbolkan dengan karakter "b".

Contoh
2, 6, 10, 14........memiliki nilai beda = 4.

Tahukah anda darimana datangnya nilai beda = 4 ????

Perhatikan penjelasan berikut ini.

Barisan diatas terdiri dari empat suku dimana :

• U₁ = 2
• U₂ = 6
• U₃ = 10
• U₄ = 14

Dari definisi atas, nilai beda adalah selisih dari dua suku yang berurutan dan menghasilkan nilai tetap. Dengan demikian kita dapat mencari nilai beda diantara dua suku yang berurutan :

• Jika kita cari nilai beda sukue ke-4 dengan ke-3 dimana :
  U₄ - U₃ = 14 - 10 = 4
• ika kita cari nilai beda sukue ke-3 dengan ke-2 dimana :
  U₃ - U₂ = 10 - 6 = 4
• ika kita cari nilai beda sukue ke-2 dengan ke-1 dimana :
  U₂ - U₁ = 6 - 2 = 4

B. Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

Berikut ini adalah rumus-rumus yang digunakan dalam suatu barisan aritmatika, yaitu :

1. Rumus Suku ke-n

---

Rumus yang digunakan dalam mencari suku ke-n adalah sebagai berikut :

U_n = a + (n - 1)b

Keterangan:

• U_n = suku ke-n 
• a = suku pertama 
• b = nilai beda 
• n = banyaknya suku

2. Rumus untuk nilai beda (b)

---

Untuk mencari selisih atau nilai beda, dipilih dua suku yang berurutan . Rumusnya adalah sebagai berikut :

b = U_n-U_(n-1)

Keterangan

• b = nilai beda
• U_n = suku ke-n 

3. Rumus mencari Suku Tengah

---

Apabila diketahui suku pertama dan suku terakhir, rumus suku tengah yang digunakan adalah :

U_t =

a + U_n / 2

Keterangan:

• U_t = suku tengah
• a = suku pertama
• U_n = suku ke-n

Jika suku pertama diketahui serta banyaknya n suku dan nilai beda juga diketahui, maka rumus suku tengah yang digunakan adalah sebagai berikut :

U_t =

a + (n-1)b / 2

Keterangan

• U_t = suku tengah
• a = suku pertama
• n = banyaknya suku
• b = nilai beda

C. Deret Aritmatika

1. Definisi Deret Aritmatika

---

Deret Aritmatika adalah penjumlahan antar suku-suku pada suatu barisan aritmatika, dimana susunannya ditandai dengan tanda plus (+).

2. Rumus Deret Aritmatika

---

Rumus yang digunakan dalam deret aritmatika adalah sebagai berikut :

S_n =

n / 2

(a+U_n)
atau
S_n =

n / 2

(2a + (n-1)b)
Keterangan

• S_n = jumlah suku ke-n
• a = suku pertama
• U_n = nilai suku ke-n
• b = nilai beda
• n = banyaknya suku

Contoh Soal

Soal No.1

---

Jika terdapat suatu barisan aritmatika sebagai berikut :
3, 6, 9, 12, 15, 18

Hitunglah :
A. Suku Kedua
B. Nilai Beda
C. Suku ke- 8

Pembahasan

A. Suku Kedua
U₂ = 6

B. Nilai Beda
Misal kita pilih selisih dari suku ke-3 dengan suku ke-2:
b = U₃ - U₂
b = 9 - 6
b = 3

C. Suku ke- 8
U_n = a + (n - 1)b
U₈ = 3 + (8 - 1)3
U₈ = 2 + (7)3
U₈ = 2 + 21
U₈ = 23

Soal No.2

---

Tentukan jumlah 10 suku pertama dari suatu barisan aritmatika apabila suku kedua adalah 5 dan suku kelima adalah 14 ?

Pembahasan

Suku Kedua :
⇒ U₂ = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 - b...(Persamaan 1)

Suku Kelima :
⇒ U₅ = 14
⇒ a + 4b = 14...(Persamaan 2)

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 - b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Jadi a = 5 -b
⇒ a = 5 - 3 = 2

Jumlah 10 suku pertama:
⇒ S_n= n 2 (a+U_n)
⇒ S₁₀= 10 2 (a+U₁₀)
⇒ S₁₀= 5 (a + a + 9b)
⇒ S₁₀= 5 (2 + 2 + 9.3)
⇒ S₁₀= 155

Untuk pembahasan lebih lanjut tentang contoh soal barisan dan deret aritmatika, silahkan kunjungi tutorial yang berjudul :

Pembahasan Soal Barisan dan Deret Aritmatika