Pembahasan Soal Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) - Adapun tujuan dari pembelajaran matematika kali ini adalah agar kita dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan persamaan linear dua variabel.Kesulitan dalam menyelesaikan persamaan linear dua variabel karena beberapa hal yaitu : kesulitan memisalkan istilah variabel, kesulitan mengubah soal cerita ke dalam kalimat matamatika, kesulitan melakukan operasi dengan metode eliminasi dan substitusi, kesulitan mengoperasikan penjumlahan dan pengurangan, kesulitan mendapatkan nilai pengganti variabel, dan kesulitan mengubah nilai pengganti variabel ke dalam kalimat pertanyaan.
Untuk itu, postingan kali ini menghadirkan pembahasan soal persamaan linear dua variabel secara lebih mendetil, tahap per tahap agar mudah dipahami oleh kita semua.
Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah persamaan linear yang hanya terdiri dari dua variabel dimana pangkat masing-masing variabel tersebut adalah satu.
Bentuk umum persaman linear dua variabel adalah:
ax + by = c dimana x dan y adalah variabel dan a, b, c ∈ R (a ≠ 0, b ≠ 0).
Contoh :
- 2x + 12y = 40
Persamaan tersebut memiliki dua variabel yaitu : x dan y dan derajat masing-masing variabel tersebut adalah satu. Sehingga persamaan ini masuk dalam kategori Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) - a + 11b = 36
Persamaan a + 11b = 36 memiliki dua variabel yaitu : a dan b dan derajat masing-masing variabel tersebut adalah satu. Sehingga persamaan ini masuk dalam kategori Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) - a + 2b = b + 16
Persamaan a + 2b = b + 16 memiliki dua variabel yaitu : a dan b. Walaupun di ruas kiri dan kanan sama-sama mengandung variabel "b", variabel ini dianggap satu saja dan derajat masing-masing variabel tersebut (a dan b) adalah satu. Sehingga persamaan ini masuk dalam kategori Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Agar kita dapat memahaminya secara lebih baik, mari kita simak dan amati contoh soal persamaan linear dua variabel(spldv) beserta pembahasannya di bawah ini.
Contoh Soal SPLDV
Soal No.1Yang manakah persamaan di bawah ini yang bukan merupakan persamaan linear dua variabel :
A. x + 2y = 16
B. 13p - 12q + r = 30
C. 2x + y = 14
D. a + b = 2a - 8
Pembahasan
Ingat .....Persamaan Linear Dua Variabel merupakan persamaan linear yang hanya mengandung dua variabel. Untuk nama variabelnya sendiri terserah menggunakan huruf abjad apa saja.
Jawab : B
- Persamaan : x + 2y = 16....mengandung dua variabel dan kedua variabelnya berderajad satu. Maka masuk dalam kategori SPLDV.
- Persamaan : 13p - 12q + r = 30 ...mengandung tiga variabel. Berarti tidak masuk dalam kategori SPLDV.
- Persamaan : 2x + y = 14 ...mengadung dua variabel dan kedua variabelnya berderjad satu. Masuk dalam kategori SPLDV.
- Persamaan : a + b = 2a - 8 ...mengadung dua variabel dan kedua variabelnya berderjad satu. Masuk dalam kategori SPLDV.
Jawab : B
Soal No.2
Berikut ini adalah persamaan linear dua variabel, kecuali :
A. a2 + 2b = 16
B. 13p - 12q = 30
C. 2x + y = 14
D. 2a + b = a - 8
Pembahasan
- Persamaan : a2 + 2b = 16....mengandung dua variabel, namun salah satu variabelnya berderajad dua yaitu :a2. Maka tidak masuk dalam kategori SPLDV.
- Persamaan : 13p - 12q = 30 ...mengandung dua variabel dan kedua variabelnya berderajad satu.Masuk dalam kategori SPLDV.
- Persamaan : 2x + y = 14 ...mengadung dua variabel dan kedua variabelnya berderjad satu. Masuk dalam kategori SPLDV.
- Persamaan : a + b = 2a - 8 ...mengadung dua variabel dan kedua variabelnya berderjad satu. Masuk dalam kategori SPLDV.
Jawab : A
Soal No.3
Pak Budi memiliki dua orang anak bernama Fitri dan Rina. Jumlah umur Fitri dan Rina adalah 50 tahun. Fitri 4 tahun lebih muda dari Rina. Berapakah umur Fitri dan Rina ?
A. Fitri = 23 tahun, Rina = 28 tahun
B. Fitri = 27 tahun, Rina = 23 tahun
C. Fitri = 13 tahun, Rina = 18 tahun
D. Fitri = 23 tahun, Rina = 27 tahun
Pembahasan
Langkah Pertama
Pada langkah pertama ini kita akan memodelkan soal cerita spldv di atas.
Jumlah umur Fitri dan Rina adalah 50 tahun dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan :
Fitri 4 tahun lebih muda dari Rina dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan :
Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini kita substitusikan persamaan (2) ke persamaa (1) sehingga menjadi :
Variabel y menyatakan umur Rina. Jadi sekarang kita sudah dapatkan umur Rina yaitu : 27 tahun
Langkah Ketiga
Pada langkah ke-3 ini kita akan substitusikan nilai dari variabel y yang sudah didapatkan ke salah satu persamaan. Disini kita ambil contoh, substitusi nilai variabel y ke dalam persamaan (2):
Variabel "x" merupakan umur Fitri. Jadi umut Fitri adalah 23 tahun
Dengan demikian kita dapatkan bahwa :
Umur Fitri = 23 tahun
Umur Rina = 27 tahun
Jawab : D
Pada langkah pertama ini kita akan memodelkan soal cerita spldv di atas.
Misalkan :
Umur Fitri = x
Umur Rina = y
Umur Fitri = x
Umur Rina = y
Jumlah umur Fitri dan Rina adalah 50 tahun dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan :
x + y = 50 ... Persamaan (1)
Fitri 4 tahun lebih muda dari Rina dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan :
x = y - 4 .... Persamaan (2)
Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini kita substitusikan persamaan (2) ke persamaa (1) sehingga menjadi :
x + y = 50
y - 4 + y = 50
2y - 4 = 50
2y = 50 + 4
2y = 54
y =
y = 27
y - 4 + y = 50
2y - 4 = 50
2y = 50 + 4
2y = 54
y =
54
2
y = 27
Variabel y menyatakan umur Rina. Jadi sekarang kita sudah dapatkan umur Rina yaitu : 27 tahun
Langkah Ketiga
Pada langkah ke-3 ini kita akan substitusikan nilai dari variabel y yang sudah didapatkan ke salah satu persamaan. Disini kita ambil contoh, substitusi nilai variabel y ke dalam persamaan (2):
x = y - 4
x = 27 - 4
x = 23
x = 27 - 4
x = 23
Variabel "x" merupakan umur Fitri. Jadi umut Fitri adalah 23 tahun
Dengan demikian kita dapatkan bahwa :
Umur Fitri = 23 tahun
Umur Rina = 27 tahun
Jawab : D
Soal No.4 (UN 2014)
Diketahui harga 5 kg apel dan 3 kg jeruk Rp79.000,00 sedangkan harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk Rp49.000,00. Harga 1 kg apel adalah....
A. Rp11.000,00
B. Rp10.000,00
C. Rp9.000,00
D. Rp8.000,00
Pembahasan
Langkah Pertama
Pertama-tama kita memodelkan soal spldv di atas.
Harga 5 kg apel dan 3 kg jeruk Rp79.000,00 dapat dimodelkan menjadi :
Harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk Rp49.000,00 dapat dimodelkan menjadi :
Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini kita lakukan proses eliminasi antara persamaan (1) dengan (2). Pada persamaan (1) dikalikan dengan 2 dan pada persamaan (2) dikalikan dengan 3 :
Jawab : A
Pertama-tama kita memodelkan soal spldv di atas.
Misalkan:
Harga 1 kg apel = x
Harga 1 kg jeruk = y
Harga 1 kg apel = x
Harga 1 kg jeruk = y
Harga 5 kg apel dan 3 kg jeruk Rp79.000,00 dapat dimodelkan menjadi :
5x + 3y = 79.000 ... Persamaan (1)
Harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk Rp49.000,00 dapat dimodelkan menjadi :
3x + 2y = 49.000 ... Persamaan (2)
Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini kita lakukan proses eliminasi antara persamaan (1) dengan (2). Pada persamaan (1) dikalikan dengan 2 dan pada persamaan (2) dikalikan dengan 3 :
5x + 3y =79.000 |x2| ⟺ 10x+6y = 158.000
3x + 2y =49.000 |x3| ⟺ 9x +6y = 147.000
3x + 2y =49.000 |x3| ⟺ 9x +6y = 147.000
10x+6y = 158.000
9x +6y = 147.000
________________ _
x = 11.000
Dengan demikian harga 1 kg apel adalah Rp11.000,009x +6y = 147.000
________________ _
x = 11.000
Jawab : A
Soal No.5 (UN 2015)
Di dalam kandang terdapat kambing dan ayam sebanyak 13 ekor. Jika jumlah kaki hewan tersebut 32 2kor, maka jumlah kambing dan ayam masing-masing adalah...
A. 3 dan 10
B. 4 dan 9
C. 5 dan 8
D. 10 dan 3
Pembahasan
Langkah Pertama
Pada langkah pertama ini kita akan memodelkan soal cerita spldv di atas.
Di dalam kandang terdapat kambing dan ayam sebanyak 13 ekor dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan :
Jumlah kaki hewan tersebut 32 2kor, dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan :
Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini kita akan eliminasi persamaan (1) dan (2) sehingga menjadi :
Langkah Ketiga
Pada langkah ke-3 ini kita akan substitusikan nilai dari variabel x yang sudah didapatkan ke salah satu persamaan. Disini kita ambil contoh, substitusi nilai variabel x ke dalam persamaan (1):
Dengan demikian kita dapatkan bahwa :
Jumlah Kambing = 3 ekor
Jumlah Ayam = 10 ekor tahun
Jawab : A
Pada langkah pertama ini kita akan memodelkan soal cerita spldv di atas.
Misalkan :
Kambing = x
Ayam = y
Jumlah kaki kambing = 4
Jumalh kaki ayam = 2
Kambing = x
Ayam = y
Jumlah kaki kambing = 4
Jumalh kaki ayam = 2
Di dalam kandang terdapat kambing dan ayam sebanyak 13 ekor dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan :
x + y = 13 ... Persamaan (1)
Jumlah kaki hewan tersebut 32 2kor, dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan :
4x + 2y = 32 .... Persamaan (2)
Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini kita akan eliminasi persamaan (1) dan (2) sehingga menjadi :
x + y = 13 | x4 | ⟺ 4x + 4y = 52
4x + 2y = 32 | x1 | ⟺ 4x + 2y = 32
4x + 4y = 52
4x + 2y = 32
_____________ _
2y = 20
y = 10
Variabel "y" menyatakan jumlah ayam. Sekarang kita sudah mendapatkan jumlah ayam sebanyak 10 ekor.
4x + 2y = 32 | x1 | ⟺ 4x + 2y = 32
4x + 4y = 52
4x + 2y = 32
_____________ _
2y = 20
y = 10
Langkah Ketiga
Pada langkah ke-3 ini kita akan substitusikan nilai dari variabel x yang sudah didapatkan ke salah satu persamaan. Disini kita ambil contoh, substitusi nilai variabel x ke dalam persamaan (1):
x + y = 13
x + 10 = 13
x = 13 - 10
x = 3
Variabel "x" menyatakan jumlah kambing. Sekarang kita sudah mendapatkan jumlah kambing sebanyak 3 ekor.
x + 10 = 13
x = 13 - 10
x = 3
Variabel "x" menyatakan jumlah kambing. Sekarang kita sudah mendapatkan jumlah kambing sebanyak 3 ekor.
Dengan demikian kita dapatkan bahwa :
Jumlah Kambing = 3 ekor
Jumlah Ayam = 10 ekor tahun
Jawab : A
Soal No.6
Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp 14.400,00. Harga 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp 11.200,00. Jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil adalah ....
A. Rp 10.800,00
B. Rp 12.400,00
C. Rp 12.800,00
D. Rp 15.000,00
Pembahasan
Langkah Pertama
Pertama-tama kita buat pemodelan spldv di atas.
Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp 14.400,00 dapat dibuat model matematika sebagai berikut :
Harga 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp 11.200,00 dapat dimodelkan dalam spldv sbb :
Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini kita akan eliminasi persamaan (1) dan (2) sehingga menjadi :
Langkah Ketiga
Substitusikan nilai dari variabel b yang sudah didapatkan ke salah satu persamaan. Disini kita substitusi nilai b ke dalam persamaan (1):
Variabel "a" menyatakan Buku. Sekarang kita sudah mendapatkan harga 1 Buku Tulis adalah Rp 1.200 .
Dengan demikian kita dapatkan bahwa :
Harga 1 Buku Tulis adalah Rp 1.200
Harga 1 Pensil adalah Rp 800
Langkah Keempat
Pada langkah ke-4 ini akan menghitung total biaya yang dibutuhkan untuk Jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil.
Jawab : B
Pertama-tama kita buat pemodelan spldv di atas.
Misalkan :
Harga 1 Buku Tulis = a
Harga 1 Pensil = b
Harga 1 Buku Tulis = a
Harga 1 Pensil = b
Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp 14.400,00 dapat dibuat model matematika sebagai berikut :
8a + 6b = 14.400 ... Persamaan (1)
Harga 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp 11.200,00 dapat dimodelkan dalam spldv sbb :
6a + 5b = 11.200 .... Persamaan (2)
Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini kita akan eliminasi persamaan (1) dan (2) sehingga menjadi :
8a + 6b = 14.400 | x3 | ⟺ 24a + 18b = 43.200
6a + 5b = 11.200 | x4 | ⟺ 24a + 20b = 44.800
24a + 18b = 43.200
24a + 20b = 44.800
___________________ _
-2b = -1.600
b = 800
Variabel "b" menyatakan Pensil. Sekarang kita sudah mendapatkan harga 1 Pensil adalah Rp 800.
6a + 5b = 11.200 | x4 | ⟺ 24a + 20b = 44.800
24a + 18b = 43.200
24a + 20b = 44.800
___________________ _
-2b = -1.600
b = 800
Langkah Ketiga
Substitusikan nilai dari variabel b yang sudah didapatkan ke salah satu persamaan. Disini kita substitusi nilai b ke dalam persamaan (1):
8a + 6b = 14.400
8a + 6(800) = 14.400
8a + 4.800 = 14.400
8a = 14.400 - 4.800
8a = 9.600
a = Rp 1.200
8a + 6(800) = 14.400
8a + 4.800 = 14.400
8a = 14.400 - 4.800
8a = 9.600
a = Rp 1.200
Variabel "a" menyatakan Buku. Sekarang kita sudah mendapatkan harga 1 Buku Tulis adalah Rp 1.200 .
Dengan demikian kita dapatkan bahwa :
Harga 1 Buku Tulis adalah Rp 1.200
Harga 1 Pensil adalah Rp 800
Langkah Keempat
Pada langkah ke-4 ini akan menghitung total biaya yang dibutuhkan untuk Jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil.
5a + 8b
⟺ 5(1200) + 8(800)
⟺ 6.000 + 6.400
⟺ 12.400
⟺ 5(1200) + 8(800)
⟺ 6.000 + 6.400
⟺ 12.400
Jawab : B
Soal No.7
Jika membeli 2 buah mangga dan 3 buah jeruk, kita harus membayar Rp 6.000,00. Jika kita mengambil 4 buah jeruk dan 5 buah mangga, maka kita harus membayar Rp 11.500,00. Jadi harga satu buah mangga dan satu buah jeruk adalah .....
A. Rp 1.500 dan Rp 1.500
B. Rp 1.000 dan Rp 1.500
C. Rp 1.500 dan Rp 1.000
D. Rp 2.000 dan Rp 1.500
Pembahasan
Langkah Pertama
Langkah pertama kita buat pemodelan spldv terlebih dahulu.
Jika membeli 2 buah mangga dan 3 buah jeruk, kita harus membayar Rp 6.000,00 dapat dibuat model matematika sebagai berikut :
ika kita mengambil 4 buah jeruk dan 5 buah mangga, maka kita harus membayar Rp 11.500,00 dapat dimodelkan dalam spldv sbb :
Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini kita akan eliminasi persamaan (1) dan (2) sehingga menjadi :
Langkah Ketiga
Substitusikan nilai j yang didapatkan ke salah satu persamaan ke dalam persamaan (1):
Variabel "m" menyatakan Mangga. Sekarang kita sudah mendapatkan harga 1 Mangga adalah Rp 1.500 .
Dengan demikian kita dapatkan bahwa :
Harga 1 Jeruk adalah Rp 1.000
Harga 1 Mangga adalah Rp 1.500
Jawab : B
Langkah pertama kita buat pemodelan spldv terlebih dahulu.
Misalkan :
Harga 1 Mangga = m
Harga 1 Jeruk = j
Harga 1 Mangga = m
Harga 1 Jeruk = j
Jika membeli 2 buah mangga dan 3 buah jeruk, kita harus membayar Rp 6.000,00 dapat dibuat model matematika sebagai berikut :
2m + 3j = 6.000 ... Persamaan (1)
ika kita mengambil 4 buah jeruk dan 5 buah mangga, maka kita harus membayar Rp 11.500,00 dapat dimodelkan dalam spldv sbb :
5m + 4j = 11.500 .... Persamaan (2)
Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini kita akan eliminasi persamaan (1) dan (2) sehingga menjadi :
2m + 3j = 6.000 | x5 | ⟺ 10m + 15j = 30.000
5m + 4j = 11.500 | x2 | ⟺ 10m + 8j = 23.000
10m + 15j = 30.000
10m + 8j = 23.000
___________________ _
7j = 7.000
j = 1.000
Variabel "j" menyatakan Jeruk. Sekarang kita sudah mendapatkan harga 1 Jeruk adalah Rp 1.000.
5m + 4j = 11.500 | x2 | ⟺ 10m + 8j = 23.000
10m + 15j = 30.000
10m + 8j = 23.000
___________________ _
7j = 7.000
j = 1.000
Langkah Ketiga
Substitusikan nilai j yang didapatkan ke salah satu persamaan ke dalam persamaan (1):
10m + 15j = 30.000
10m + 15(1000) = 30.000
10m + 15.000 = 30.000
10m + 15.000 = 30.000
10m = 30.000 - 15.000
10m = 15.000
m = 1.500
10m + 15(1000) = 30.000
10m + 15.000 = 30.000
10m + 15.000 = 30.000
10m = 30.000 - 15.000
10m = 15.000
m = 1.500
Variabel "m" menyatakan Mangga. Sekarang kita sudah mendapatkan harga 1 Mangga adalah Rp 1.500 .
Dengan demikian kita dapatkan bahwa :
Harga 1 Jeruk adalah Rp 1.000
Harga 1 Mangga adalah Rp 1.500
Jawab : B
Referensi
1.http://eprints.ums.ac.id/62010/3/Bab%20I.pdf
