Pembahasan Soal Deret Geometri Tak Hingga
Soal Deret Geometri Tak Hingga - Adapun tujuan dari pembelajaran matematika dalam pokok bahasan deret geometri kali ini adalah agar kita dapat menyelesaikan soal-soal barisan dan deret geometri tak hingga.Ada yang tahu seperti apa deret geometri tak hingga tersebut ?
Nah sebelum kita masuk ke latihan soal, terlebih dahulu kita akan memahami beberapa konsep seperti apa yang dimaksud dengan deret geometri tak hingga beserta jenis-jenisnya dan juga rumus untuk mencari deret geometri tak hingga.
Apa itu Deret Geometri Tak Hingga ?
Deret Geometri Tak Hingga adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri yang banyaknya tak terhingga (tidak terbatas suku-sukunya) atau bisa dikatakan tak terhingga suku-suku yang akan kita jumlahkan.
Notasi untuk menyatakan deret geometri tak hingga adalah S∞
Sampai sejauh ini sudah paham ??
Ok. Kalau belum paham, mari kita lanjut !!!!
Coba perhatikan deret geometri di bawah ini :
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256, ...
Kalau ditanya berapa jumlah tak hingga dari deret di atas ?
Nilai pada suku pertama (U1) = 2, U2 = 4, U3 = 8, U4 = 16 dan terus bertambah untuk suku-suku berikutnya dimana rasionya adalah 2 (r=2).
Jadi mustahil kita bisa menghitung jumlah tak hingga dari deret geometri tersebut, karena nilainya semakin besar. Atau bisa kita katakan juga jumlahnya tak terhingga juga.
Sekarang mari pahami deret geometri berikut ini:
4 + 2 + 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
...
Pertanyaannya sama. Berapa jumlah tak hingga dari deret geometri di atas ?
Apakah sama seperti yang di atas, tidak bisa dihitung jumlahnya !!!
Perhatikan !!
Nilai pada suku pertama (U1) = 4, U2 = 2, U3 = 1, U4 =
1
2
dan untuk suku-suku berikutnya semakin lama nilainya semakin mengecil dimana rasionya =
1
2
Karena deret geometri tersebut makin lama makin mengecil, maka suku tak hingganya akan mendekati 0.
Nah, untuk deret geometri yang seperti inilah yang bisa kita hitung untuk jumlah tak hingga dari sukunya.
Sampai disini sudah jelas apa itu deret geometri tak hingga dan deret geometri seperti apa yang bisa kita hitung jumlahnya.
Nah, untuk deret geometri yang seperti inilah yang bisa kita hitung untuk jumlah tak hingga dari sukunya.
Jenis-Jenis Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga dibagai menjadi dua jenis, yaitu :
- Deret Geometri Tak Hingga Divergen
- Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
1. Deret Geometri Tak Hingga Divergen
Deret geometri tak hingga divergen adalah deret geometri yang memiliki nilai suku-suku semakin bertambah besar dan tidak bisa dihitung jumlahnya.Contoh
3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + ...
Deret diatas, (U1) =3, (U2) = 6, (U3) = 12 dan untuk seterusnya bertambah besar nilai untuk suku-suku berikutnya.
Deret geometri tak hingga divergen memiliki rasio : |r| ≥ 1 atau bisa dikatakan memiliki invterval ratsio :r ≤ -1 atau r ≥ 1
Catatan :
|r| ≥ 1 ≡ r ≤ -1 atau r ≥ 1
Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika dan hanya jika | r | ≥ 1. Deret divergen tidak mempunyai jumlah.
Catatan :
|r| ≥ 1 ≡ r ≤ -1 atau r ≥ 1
2. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Deret geometri tak hingga konvergen adalah deret geometri yang memiliki nilai suku-suku semakin berkurang atau mengecil dan dapat dihitung jumlahnya.Contoh
3 + 1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+
1
81
+ ....Deret diatas, (U1) = 3, (U2) = 1, (U3) =
1
3
dan untuk seterusnya semakin mengecil nilai untuk suku-suku berikutnya.
Deret geometri tak hingga konverge memiliki rasio : | r | < atau bisa dikatakan memiliki invterval rasio : -1 < r < 1
Catatan :
| r | < 1 ≡ -1 < r < 1
Catatan :
| r | < 1 ≡ -1 < r < 1
Rumus Mencari Deret Geometri Tak Hingga
1. Deret Geometri Tak Hingga Divergen
Karena nilai suku-suku berikutnya semakin lama semakin membesar, maka tentunya jumlah deret geometri tak hingga divergen adalah tak hingga juga :
S∞ = ∞
2. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Untuk mencari jumlah deret geometri tak hingga konvergen kita menggunakan rumus :
S∞ =
a
1 - r
- a = suku pertama
- r = rasio
Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga
Soal No.1Tentukan jenis deret di bawah ini apakah termasuk konvergen atau divergen !
A. 4 + 8 + 16 + 32 + ...
B. 4 + 4 + 4 + 4 + ...
C. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
D. 3 - 1 + 1/3 - 1/9 + ...
Pembahasan
Untuk memeriksa deret geometri tak hingga konvergen atau divergen, kita harus mencari rasionya.
Untuk mencari rasio kita gunakan rumus :
A. Untuk deret 4 + 8 + 16 + 32 + ...
Misal kita tinjau suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 16 8 = 2
karena |r| = |2| ≥ 1 , maka deret tersebut Divergen
B. Untuk deret 4 + 4 + 4 + 4 + ...
Misal kita tinjau suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 4 4 = 1
Karena |r| = |1| ≥ 1 , maka deret tersebut Divergen
C. Untuk deret 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Misal kita tinjau suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 1/4 1/2 = 2 4 = 1 2
Karena |r| = |1/2| < 1 , maka deret tersebut Konvergen
D. Untuk deret 3 - 1 + 1/3 - 1/9 + ...
Misal kita tinjau suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 1/3 -1 = - 1 3
Karena |r| = |-1/3| < 1 , maka deret tersebut Konvergen
Untuk mencari rasio kita gunakan rumus :
r =
Un
U(n-1)
dimana :
dimana :
- r adalah rasio
- Un adalah suku ke-n
- U(n-1) adalah suku ke-n sebelumnya
A. Untuk deret 4 + 8 + 16 + 32 + ...
Misal kita tinjau suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 16 8 = 2
karena |r| = |2| ≥ 1 , maka deret tersebut Divergen
B. Untuk deret 4 + 4 + 4 + 4 + ...
Misal kita tinjau suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 4 4 = 1
Karena |r| = |1| ≥ 1 , maka deret tersebut Divergen
C. Untuk deret 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Misal kita tinjau suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 1/4 1/2 = 2 4 = 1 2
Karena |r| = |1/2| < 1 , maka deret tersebut Konvergen
D. Untuk deret 3 - 1 + 1/3 - 1/9 + ...
Misal kita tinjau suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 1/3 -1 = - 1 3
Karena |r| = |-1/3| < 1 , maka deret tersebut Konvergen
Soal No.2
Suku pertama dan rasio antar suku dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah 10 dan
2
3
. Hitunglah jumlah tak hingga dari deret tersebut ?
Pembahasan
Dari soal di atas kita dapatkan :
Rumus untuk mencari deret geometri tak hingga konvergen :
S∞ =
S∞ =
S∞ =
S∞ = 10 x 3
S∞ = 30
- Suku pertama = a = 10
- rasio = r = 2 3
Rumus untuk mencari deret geometri tak hingga konvergen :
S∞ =
a
1 - r
S∞ =
10
1 -
2
3
S∞ =
10
1
3
S∞ = 10 x 3
S∞ = 30
Soal No.3
Hitunglah deret geometrik berikut ini : 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + ....
Pembahasan
a = 6
Untuk mencari rasio kita membandingkan suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 18 6 = 3
Karena |r| = |3| ≥ 1 , maka deret tersebut Divergen
Karena termasuk deret geometri tak hingga divergen, maka tidak bisa dihitung jumlah deret tak hingganya, karena akan menghasilkan tak hingga juga.
Atau bisa kita tulis juga jumlah deret tak hingganya :
S∞ = ∞
Untuk mencari rasio kita membandingkan suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 18 6 = 3
Karena |r| = |3| ≥ 1 , maka deret tersebut Divergen
Karena termasuk deret geometri tak hingga divergen, maka tidak bisa dihitung jumlah deret tak hingganya, karena akan menghasilkan tak hingga juga.
Atau bisa kita tulis juga jumlah deret tak hingganya :
S∞ = ∞
Soal No.4
Hitung jumlah deret geometri tak hingga di bawah ini :
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Pembahasan
a = 1
Untuk mencari rasio kita membandingkan suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 1/4 1/2 = 2 4 = 1 2
Deret termasuk Konvergen, karena |r| = |1/2| < 1
Maka jumlah deret geometri tak hingga konvergen :
S∞ =
S∞ =
S∞ = 2
Untuk mencari rasio kita membandingkan suku ke-3 dan suku ke-2:
r = Un U(n-1)
r = 1/4 1/2 = 2 4 = 1 2
Deret termasuk Konvergen, karena |r| = |1/2| < 1
Maka jumlah deret geometri tak hingga konvergen :
S∞ =
a
1 - r
S∞ =
1
1 - 1/2
=
1
1/2
S∞ = 2
Soal No.5
Jika jumlah dari deret geometri tak hingga sama dengan empat kali suku pertamanya. Tentukanlah rasio deret tersebut ?
Pembahasan
S∞ = 4a
S∞ =
4a =
1 - r =
1 - r =
1 -
Jadi rasio deret tersebut adalah
S∞ =
a
1 - r
4a =
a
1 - r
1 - r =
a
4a
1 - r =
1
4
1 -
1
4
= r
3
4
= r ⇔
r =
3
4
Jadi rasio deret tersebut adalah
3
4
