Soal Limit Fungsi Aljabar Tak Hingga
Limit Fungsi Aljabar Tak Hingga - Tujuan dari pembelajaran matematika kali ini dalam topik limit fungsi aljabar adalah agar kita dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar dalam bentuk tak hingga.Limit Bentuk ∞/∞
Apabila kita menemukan limit bentuk ∞/∞ pada limit fungsi pecahan dalam bentuk suku banyak (polinom) seperti :
lim
x→ ∞
axm + bxm-1 + ... + c
pxn + qxn-1 + ... + r
Secara umum untuk menyelesaikan limit di atas, kita cukup membaginya dengan pangkat tertinggi apakah pembilangan yang memiliki pangkat tertinggi atau penyebut yang memiliki pangkat tertinggi. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut
Contoh 1
Hitunglah nilai limit fungsi aljaba tak hingga berikut ini :
lim
x→∞
4x + 1
x2 - 2
Pembahasan
Dari limit di atas dapat kita kehaui bahwa:
Dengan demikian penyelesaiannya dengan membagi pangkat tertinggi penyebut :
- Pangkat pembilang = 1, terdapat pada 4x
- Pangkat penyebut = 2, terdapat pada x2
Dengan demikian penyelesaiannya dengan membagi pangkat tertinggi penyebut :
lim
x→∞
4x + 1
x2 - 2
⇔
lim
x→∞
4x
x2
+
1
x2
x2
x2
-
2
x2
⇔
lim
x→∞
4
x
+
1
x2
1
-
2
x2
=
4
∞
+
1
(∞)2
1
-
2
(∞)2
=
0 + 0
1 - 0
= 0
Contoh 2
Tentukan nilai limit fungsi aljaba tak hingga berikut ini :
lim
x→∞
x2
x + 1
Pembahasan
Dari limit di atas dapat kita ketahui:
Dengan demikian penyelesaiannya dengan membagi semuanya dengan pangkat pembilang tertinggi :
- Pangkat pembilang tertinggi = 2, terdapat pada x2
- Pangkat penyebut tertinggi = 1, terdapat pada x
Dengan demikian penyelesaiannya dengan membagi semuanya dengan pangkat pembilang tertinggi :
lim
x→∞
x2
x + 1
⇔
lim
x→∞
x2
x2
x
x2
+
1
x2
⇔
lim
x→∞
1
1
x
+
2
x2
=
1
1
∞
+
2
∞2
=
1
0 + 0
= ∞
Contoh 3
Tentukan nilai limit fungsi aljaba tak hingga berikut ini :
lim
x→∞
2x2 - 5
x2 - 3
Pembahasan
Dari limit di atas dapat kita ketahui:
Karena memiliki derajat pangkat tinggi yang sama antara pembilang dan penyebut, maka tetap dibagi dengan pangkat tertinggi :
- Pangkat pembilang tertinggi = 2, terdapat pada 2x2
- Pangkat penyebut tertinggi = 1, terdapat pada x2
Karena memiliki derajat pangkat tinggi yang sama antara pembilang dan penyebut, maka tetap dibagi dengan pangkat tertinggi :
lim
x→∞
2x2 - 5
x2 - 3
⇔
lim
x→∞
2x2
x2
-
5
x2
x2
x2
-
3
x2
⇔
lim
x→∞
2
-
5
x2
1
-
3
x2
=
2
-
5
(∞)2
1
-
3
(∞)2
=
2 - 0
1 - 0
= 2
Nah sekarang anda sudah tahu bagaimana memecahkan soal-soal limit tak terhingga. Namun sebenarnya terdapat cara yang lebih cepat dan lebih sederhana dalam memencari limit fungsi aljabar tak hingga.
Cara Cepat Mencari Limit Fungsi Aljabar Tak Hingga
Jika kita memiliki bentuk limit ∞/∞ seperti berikut ini :
lim
x→ ∞
axm + bxm-1 + ... + c
pxn + qxn-1 + ... + r
- Nilai limit bernilai "0", jika m < n.
- Nilai limit bernilai "∞",jika m > n
- Nilai limit = a/p, jika m = n
Untuk membuktikannya mari kita ulangi soal-soal di atas namun kita gunakan cara cepat
Contoh 1
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar tak hingga berikut ini :
lim
x→∞
4x + 1
x2 - 2
Pembahasan
Tinjau pangkat tertinggi dari pembilang dan pangkat tertinggi dari penyebut :
lim
x→∞
4x + 1
x2 - 2
=
lim
x→∞
4x
x2
= 0
- m (pangkat pembilang) adalah 1 terdapat pada 4x
- n (pangkat penyebut) adalah 2 terdapat x2
Contoh 2
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar tak hingga berikut ini :
lim
x→∞
x2
x + 1
Pembahasan
Tinjau pangkat tertinggi dari pembilang dan pangkat tertinggi dari penyebut :
lim
x→∞
x2
x + 1
=
lim
x→∞
x2
x
= ∞
- m (pangkat pembilang) adalah 2 terdapat pada x2
- n (pangkat penyebut) adalah 1 terdapat x
Contoh 3
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar tak hingga berikut ini :
lim
x→∞
2x2 - 5
x2 - 3
Tinjau pangkat tertinggi dari pembilang dan pangkat tertinggi dari penyebut :
⇔
⇔
⇔ 2
lim
x→∞
2x2 - 5
x2 - 3
=
lim
x→∞
2x2
x2
= 2
- m (pangkat pembilang) adalah 2 terdapat pada 2x2 dan a = 2
- n (pangkat penyebut) adalah 2 terdapat x2 dan p = 1
⇔
a
p
⇔
2
1
⇔ 2
