Mencari Suku Tengah Barisan dan Deret Geometri
Adapun tujuan pembelajaran matematika dalam pokok pembahasan barisan dan deret geometri kali ini adalah agar kita dapat mengetahui bagaimana cara mencari suku tengah barisan geometri.Sub pokok pembahasan mencari suku tengah deret geometri merupakan salah satu materi yang sering muncul yang berkenaan barisan dan deret geometri.
Tentunya anda tahu apa itu suku tengah !!!!
Suku tengah berarti suku yang berada di tengah-tengah diantara sejumlah barisan !!.
Nah kalo cara mencarinya bagaimana ?
Kalau jumlah barisannya sedikit, mungkin bisa ketahuan suku tengahnya. Nah kalau jumlah barisannya banyak, tentunya sukar bagi kita dengan cepat mencari suku tengahnya.
Nah agar anda dapat memahami secara lebih baik dalam materi ini yang disertai juga dengan contoh soal mencari suku tengah barisan dan deret geometri, silahkan lanjutkan bacaan berikutnya.
Pengertian Suku Tengah
Secara umum barisan geometrik ditulis seperti berikut :{a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ar7, ar8...}
Atau jika kita menggunakan simbol Un, maka barisan geometirk dapat ditulis menjadi :
{U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9...}
Nah sekarang mari kita tinjau apa itu suku tengah ?
Jika kita memiliki suatu barisan dalam bentuk notasi Un dimana terdiri 5 suku :
U1, U2, U3, U4, U5
Yang menjadi suku tengah untuk barisan di atas adalah U3. Suku ketiga (U3) pada barisan tersebut terlihat jelas berada ditengah-tengah barisan dan membagi barisan menjadi dua bagian yang sama besar (2 suku dikiri dan 2 suku dikanan).
Sampai sejauh ini, tentunya anda sangat paham !!!!. Nah mari kita coba dengan contoh soal dalam bentuk barisan geometri.
Contoh 1
2, 4, 8, 16, 32
Banyaknya suku 5, nilai suku tengahnya 8
Contoh 2
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192
Banyaknya suku 7, nilai suku tengahnya 24
Contoh 3
1, 3, 9, 27
Banyaknya suku 4, nilai suku tengahnya tidak ada.
Dengan demikian karena jumlah sukunya genap, maka tidak ada suku tengah. Jadi, kita dapat menentukan suku tengah hanya pada barisan yang memiliki jumlah suku ganjil.
Rumus Mencari Suku Tengah Barisan Geometri
1. Cara Pertama
Diatas kita dengan mudah menentukan suku tengah dari suatu barisan. Hal ini dikarenakan banyaknya suku sedikit. Jadi kita bisa langsung mengetahuinya.
Lalu bagaimana jika jumlah sukunya banyak seperti barisan berikut ini:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, .... 65536
Tentukan suku tengahnya dan terletak pada suku keberapa suku tengahnya ?
Nah bagaimana menurut anda, apakah bisa langsung dengan cepat anda tentukan suku tengahnya ???
Untuk mempermudah kita dalam mencari suku tengah dari suatu barisan geometri, kita gunakan rumus :
dimana :
Jadi dengan menerapkan rumus di atas untuk barisan :
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, .... 65536
Kita dapatkan suku tengahnya sebagai berikut :
Ut = √a . Un
Ut = √1 . 65536
Ut = 256
Pertanyaan kita berikutnya :Ut = 256 terletak pada suku keberapa ?
Rumus yang digunakan untuk mencari posisi pada suku keberapa suku tengahnya, kita gunakan :
dimana :
Namun sebelum menggunakan rumus di atas, kita harus mengetahui dahulu banyaknya suku (n). Kita dapat mencari n dengan rumus :
Nah sekarang kita akan mencari posisi suku tengah dengan terlebih dahulu cari banyaknya suku (n):
Un = ar(n-1)
65536 = 1.2(n-1)
65536 = 2(n-1)
65536 =
65536 x 2 = 2n
131072 = 2n
217 = 2n
Jadi, n = 17
Langkah berikutnya baru bisa kita cari posisi suku tengahnya :
t =
t =
t =
t = 9
Jadi Ut = 256 terlatak pada posisi suku ke-9 (U9).
Lalu bagaimana jika jumlah sukunya banyak seperti barisan berikut ini:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, .... 65536
Tentukan suku tengahnya dan terletak pada suku keberapa suku tengahnya ?
Nah bagaimana menurut anda, apakah bisa langsung dengan cepat anda tentukan suku tengahnya ???
Untuk mempermudah kita dalam mencari suku tengah dari suatu barisan geometri, kita gunakan rumus :
Ut =
√a . Un
dimana :
- Ut adalah suku tengah
- a adalah suku pertama
- Un adalah suku ke-n (dalam hal ini sebagai suku terakhir)
Jadi dengan menerapkan rumus di atas untuk barisan :
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, .... 65536
Kita dapatkan suku tengahnya sebagai berikut :
Ut = √a . Un
Ut = √1 . 65536
Ut = 256
Pertanyaan kita berikutnya :Ut = 256 terletak pada suku keberapa ?
Rumus yang digunakan untuk mencari posisi pada suku keberapa suku tengahnya, kita gunakan :
t =
1
2
(n + 1)
dimana :
- t = posisi suku tengah
- n = banyaknya suku
Namun sebelum menggunakan rumus di atas, kita harus mengetahui dahulu banyaknya suku (n). Kita dapat mencari n dengan rumus :
Un = ar(n-1)
dimana :- Un adalah suku ke-n
- a menyatakan suku pertama
- r menyatakan rasio
- n menyatakan banyaknya suku
Nah sekarang kita akan mencari posisi suku tengah dengan terlebih dahulu cari banyaknya suku (n):
Un = ar(n-1)
65536 = 1.2(n-1)
65536 = 2(n-1)
65536 =
2n
21
65536 x 2 = 2n
131072 = 2n
217 = 2n
Jadi, n = 17
Langkah berikutnya baru bisa kita cari posisi suku tengahnya :
t =
1
2
(n + 1) t =
1
2
(17 + 1) t =
1
2
(18) t = 9
Jadi Ut = 256 terlatak pada posisi suku ke-9 (U9).
2. Cara Kedua
Dari barisan geometri : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, .... 65536
Kita dapatkan :
a = 1
r =
Suku terakhir (Un) = 65536
Banyaknya suku barisan diatas dapat diperoleh sebagai berikut :
Un = ar(n-1)
65536 = 1.2(n-1)
65536 = 2(n-1)
216 = 2(n-1)
16 = n - 1
n-1 = 16
n = 16 + 1
n = 17
Jadi banyaknya suku adalah 17 (n=17).
Posisi suku tengah dapat kita peroleh dengan cara :
2t -1 = 17
2t = 17 + 1
2t = 18
t = 9
Jadi suku tengahnya (Ut berada pada suku ke-9
Maka nilai suku tengahnya (Ut) yaitu berada pada suku ke-9:
Un = ar(n-1)
U9 = 1. 2(9-1)
U9 = 2(9-1)
U9 = 2(8)
U9 = 256
Jadi Ut = 256 terlatak pada posisi suku ke-9 (U9).
Kita dapatkan :
a = 1
r =
U3
U2
=
4
2
= 2 Suku terakhir (Un) = 65536
Banyaknya suku barisan diatas dapat diperoleh sebagai berikut :
Un = ar(n-1)
65536 = 1.2(n-1)
65536 = 2(n-1)
16 = n - 1
n-1 = 16
n = 16 + 1
n = 17
Jadi banyaknya suku adalah 17 (n=17).
Posisi suku tengah dapat kita peroleh dengan cara :
2t -1 = 17
2t = 17 + 1
2t = 18
t = 9
Jadi suku tengahnya (Ut berada pada suku ke-9
Maka nilai suku tengahnya (Ut) yaitu berada pada suku ke-9:
Un = ar(n-1)
U9 = 1. 2(9-1)
U9 = 2(9-1)
U9 = 2(8)
U9 = 256
Jadi Ut = 256 terlatak pada posisi suku ke-9 (U9).
